奔驰定理与三角形的点(解析几何)

设 $A,B,C$ 为平面内不共线的三点， $O$ 为三角形 $\triangle ABC$ 内部的一点(或平面内与 $A,B,C$ 不重合的任意一点).

记有向三角形面积 (以逆时针为正)

$S_{\triangle OBC},\; S_{\triangle OCA},\; S_{\triangle OAB}$

则有向量恒等式

$S_{\triangle OBC}\cdot\overrightarrow{OA} + S_{\triangle OCA}\cdot\overrightarrow{OB} + S_{\triangle OAB} \cdot \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}.$

等价地，若存在不全为零的实数 $x,y,z$ 使得

$x\,\overrightarrow{OA}+y\,\overrightarrow{OB}+z\,\overrightarrow{OC}=\mathbf{0},$

则有

$S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=x:y:z.$

内心

角平分线的交点

此时三角形的高都是内切圆的半径, 可知面积之比就是边长之比, 即

$S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=a:b:c.$

外心

三条边的垂直平分线的交点

此时

$2S_{\triangle OBC} = OC \cdot OB \cdot \sin \angle BOC = OC \cdot OB \cdot \sin 2 \angle A = R^2 \sin 2\angle A$

由此可知

$S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=\sin 2\angle A :\sin 2\angle B:\sin 2\angle C.$

垂心

三条高的交点

观察 $\triangle OBC$ 和 $\triangle OCA$ 可以发现他们有相同的底边 $CO$ , 则有

$S_{\triangle OBC} : S_{\triangle OCA} = BC \cdot \cos \angle B : AC \cdot \cos \angle A$

同理可知

$S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAB} = BC \cdot \cos \angle C : AB \cdot \cos \angle A$

则有

$S_{\triangle OBC}: S_{\triangle OCA} : S_{\triangle OAB} = BC : AC \cdot \frac{\cos \angle A}{\cos \angle B} : AB \cdot \frac{\cos \angle A}{\cos \angle C}$

整理得到

$S_{\triangle OBC}: S_{\triangle OCA} : S_{\triangle OAB} =\frac{BC}{\cos \angle A} : \frac{AC}{\cos \angle B} : \frac{AB}{\cos \angle C}, \tag{1}$

由于正弦定理可知

$2R =\frac{BC}{\sin \angle A} : \frac{AC}{\sin \angle B} : \frac{AB}{\sin \angle C}$

进而 (1) 式子可以简化成

$S_{\triangle OBC}: S_{\triangle OCA} : S_{\triangle OAB} =\frac{\sin \angle A}{\cos \angle A} : \frac{\sin \angle B}{\cos \angle B} : \frac{\sin \angle C}{\cos \angle C}$

即

$S_{\triangle OBC}: S_{\triangle OCA} : S_{\triangle OAB} =\tan \angle A : \tan \angle B : \tan \angle C$

重心

三条中线的交点

此时有

$S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OCA}:S_{\triangle OAB}=1 : 1 : 1.$

(原因是直线线 $CO$ 将三角形分成面积相等的两部分,同时也平分 $\triangle ABO$ , 所以 $S_{\triangle OBC} = S_{\triangle OCA}$ ).

解析几何版本

回忆下

$(\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{OB} + (\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = \mathbf{0}$

与雅可比恒等式很像

$\begin{equation*} \overrightarrow{OA} \times (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) + \overrightarrow{OB} \times (\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OA}) + \overrightarrow{OC} \times (\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) = \mathbf{0} \end{equation*}$