通常使用垂直于交线的平面 \(BCD\) 截取并确定二面角

然后沿着交线 \(AB\) 展开这个立体图像。 可得

其中， \(AB'=AB''\)， 考虑到截取的任意性， 无妨设为单位1.
在 \(\triangle AB'C\) 中， 若设 \(\angle CAB'' = \alpha\)， 易知：

\begin{equation*} B'C=AB' \tan \alpha,\ AC= \frac{AB'}{\cos \alpha}. \end{equation*} 1

同理在 \(\triangle AB''D\) 中， 若设 \(\angle DAB'' = \beta\)， 易知：

\begin{equation*} B''D=AB''\tan \beta, \ AD= \frac{AB'}{\cos \beta}. \end{equation*} 2

在 \(\triangle ABD\) 中， 若设 \(\angle CAD = \gamma\) ， 由余弦定理可知：

\begin{equation*} CD^{2} = AC^{2} + AD^{2} - 2 \cdot AC \cdot AD\cdot \cos \gamma \end{equation*} 3

考虑下图， 显然 \(\angle CBD\) 就是我们需要的二面角

而由 \((1)(2)(3)\) 可得 \(\triangle BCD\) 三边长度， 再次应用余弦定理可知：

\begin{equation*} \cos \angle CBD = \frac{BC^2+BD^2-CD^2}{2\cdot BC \cdot BD} \end{equation*}

化简得

\[ \boxed{\cos \angle CBD = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}} \]

可以当作练习。

考虑如图所示的单位球上的三角形

显然。 \(\overset{\frown}{AB}\) 的用弧度表示即 \(\cos \angle AOB\) ， \(\overset{\frown}{AB}\) 和 \(\overset{\frown}{BC}\) 夹角即面\(BOC\) 和 面\(BOA\) 的面面角。

实际上， 推导过程等同于计算球面三角形的余弦定理。