证明下列不等式

\[ \int_a^bf(x)g(x)\ dx \leq \left( \int_a^bf^2(x)\ dx \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_a^bg^2(x)\ dx \right)^{\frac{1}{2}} \]

当你看到 $fg,\ f^2,\ g^2$ 你想到什么?

完全平方公式? 如果把每个积分看作一个整体,你又想到什么?

设 $A= \int f^2 \ dx, \ B =\int fg \ dx, \ C= \int g^2 \ dx$

原式可以改写成

\begin{equation*} B^2 \le AC \end{equation*} 1

显然上式是如下二次方程的判别式:

\begin{equation*} At^2 + 2Bt + C =0 \end{equation*} 2

将A,B,C带入 $(2)$ 中可得:

\[ t^2\int f^2 \ dx + 2t\int fg \ dx + \int g^2 \ dx = \int t^2f^2+2tfg+g^2 \ dx =\int (tf+g)^2 \ dx > 0 \]

也就是 $(2)$ 的值大于0, 与t轴没有交点. 则有判别式 $(1)$ 恒成立.

只有 $f=g$ 的时候等号成立.

观察是数学中最重要的能力, 识别能力也就是相似性. 专业和普通人的区别就是是否能察觉深层的结构. 类似的公式还有

\[ 4 fg \leq f^2 + g^2 \]

得到

\[ 4\int fg \ dx \leq \int f^2 \ dx + \int g^2\ dx \]