我们定义的行列式的对象是方阵,而当一个人发出: 三行二列行列式应该怎么计算的疑问,却受到全网的嘲讽. 对此我却有不同的看法.

在二维平面中, 我们考虑向量 $\mathbf{v}=(x_1, y_1)^\top$ , \(\mathbf{u}=(x_2, y_3)^\top\) 的行列式:

\begin{equation*} \Delta=\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} \end{equation*}

(知识回顾)行列式的几何解释是: 向量 \(\mathbf{v}, \mathbf{u}\) 构成的平行四边形的面积,其中满足右手定则的方向为正.

让我设想一下这样的场景, \(x-y-z\) 坐标系中, 向量 \(\mathbf{v}, \mathbf{u}\) 位于 \(x-y\) 平面内, 当我们旋转 \(x-y\) 平面后, 显然 \(\mathbf{v}', \mathbf{u}'\) 在同一个平面内, 但是此时的 \(\mathbf{v}', \mathbf{u}'\) 向量需要使用三个坐标描述. 值得注意是: 两个向量构成的平行四边形的面积是不变的, 间接得到行列式的值.

也就是说

\[ \det(\mathbf{v}', \mathbf{u}') = \det(\mathbf{v}, \mathbf{u}) \]

即三行两列行列式是有意义的. 更明确的定义可以令 \(w=\frac{\mathbf{v}' \times \mathbf{u}'}{|\mathbf{v}' \times \mathbf{u}'|}\) ,

\[ \det(\mathbf{v}', \mathbf{u}') \triangleq \det(\mathbf{v}', \mathbf{u}', \mathbf{w}) \]

我们可以进行如下思考:

思考1. 四行二列的行列式应该怎么定义?
思考2. 四行三列的行列式应该怎么定义?
思考3. 更一般的行列式应该如何定义?

我首次看到对一般的行列式的讨论是在张贤科的 <高等代数学> .
其中的思想是这样:
两个非方阵的乘机可以得到一个方阵, 方阵是我们熟悉的对象. 我们只要把方阵的结果进行一定程度的"参数分离", 也就是属于A的元素作为一个整体, 属于B的元素作为另一个整体,他们是分离的, 互不干扰的, 这样就得到了一般的行列式的定义.

由此看来,这个问题成为网络笑话,一个梗. 是不合理 — 世界上没有蠢问题.
想起威廉詹姆斯的一段话作为结束: