牛顿-拉弗森迭代法的基本原理

牛顿-拉弗森迭代法是基于泰勒级数的第一项展开来寻找函数根的方法. 如果你有一个方程 $f(x)=0$ , 你想找到这个方程的根, 这个方法会从一个初始猜测值 (guess) 开始.

\begin{equation*} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] % 坐标轴 \draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$}; % 函数 f(x) = 0.5*(x^2 - 1) \draw[domain=-2:2,smooth,variable=\x,blue,thick] plot ({\x},{0.5*(\x^2-1)}); % 迭代点 \coordinate (A) at (1.5,0); \coordinate (B) at (1.5,{0.5*(1.5^2-1)}); \coordinate (C) at (1.1,0); % 切线 \draw[dashed] (A) -- (B); \draw[red,thick] (B) -- (C); % 标记点和简短标签 \fill (A) circle (1pt) node[below,font=\scriptsize] {$A$}; \fill (B) circle (1pt) node[above right,font=\scriptsize] {$B$}; \fill (C) circle (1pt) node[below,font=\scriptsize] {$C$}; \end{tikzpicture} \end{equation*}

然后通过下面的迭代公式来逼近方程的根：

\begin{equation*} x_{new} = x_{old} - \frac{f(x_{old})}{f'(x_{old})} \end{equation*} 1

其中 \(f'(x)\) 是函数 \(f(x)\) 的导数。这三点 \(A(x_{old},0)$,$B(x_{old},f(x_{old}))\) , \(C(x_{new},0)\) 构成直角三角形, 点 C 是 B 点的切线与 x 轴的交点.

求平方根的迭代公式：

对于求 $x$ 的平方根, 我们要解的方程是 $f(x)=x^2-C=0$，其中 $C$ 是我们要求平方根的数. 根据牛顿-拉弗森方法，我们将 $f(x)=x^2 - C$ 和其导数 $f'(x)=2x$ 代入公式 $(1)$ ，得到：

\[ guess_{new}=guess_{old} - \frac{guess_{old}^2 - C}{2\cdot guess_{old}} = \frac{1}{2}\times \left( guess_{old} - \frac{C}{guess_{old}} \right) \]

求三次方根的迭代公式：

对于求 x 的三次方根，我们要解的方程是$f(x)=x^3 -C = 0$. 这时， $f'(x) = 3x^2$.

同样地代入牛顿-拉弗森公式，得到：

\[ guess_{new}=guess_{old} - \frac{guess_{old}^3 - C}{3\cdot guess_{old}^2} = \frac{1}{3}\times \left( 2\cdot guess_{old} + \frac{C}{guess^2_{old}} \right) \]

迭代法对凸函数很好用, 但是不是大范围收敛, 最好是在解附近使用. 或者改进下迭代方法达到更快的收敛速度.