利用一元二次方程求解 $x^2 + y^2 + w^2 + z^2 =xywz$

考虑

$x^2 + y^2 + w^2 + z^2 = xyw z$

一时间没有想法, 我们可以猜一下, 比如

$x = y = w = z = 2$

显然是满足的. 但我们把它看作一个独特的二项式

$x^2 - (ywz) \cdot x + (y^2 + w^2 + z^2) = 0$

类比一般的一元二次方程

$ax^2+bx+c = 0$

我们有

\[ \{

$\begin{array*}{l} a = 1 \\ b = - ywx \\ c = y^2+w^2+z^2 \end{array*}$

. \]

思考下根与系数的关系, 有

$x_1+ x_2 = ywz$

改写一下有

$x_2 = ywz - x_1$

带入一组显然的解 $(x,y,w,z)=(2,2,2,2)$ 则有

$(x_2, y_1, w, z) = ( 6, 2, 2, 2 )$

接下来我们就可以看成 $y$ 的二次多项式.

$y^2 - (xwz) \cdot y + (x^2+w^2+z^2) = 0$

此时的 $y_2$ 是由

\[ \{

$\begin{array*}{l} (x_2,y_1,w,z) = (6,2,2,2) \\ y_2 + y_1 = x_2wz \end{array*}$

. \]

得到

$y_2=22$

这个过程可以一直持续下去. 我们可以提出几个问题