设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个不同的数, 而

\[ F(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n). \]

而 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 是任意 $n$ 个数, 显然

\[ L(x)=\sum_{i=1}^n\frac{b_iF(x)}{(x-a_i)F'(a_i)} \]

符合条件

\[ L(a_i)=b_i,\ i=1,2,\cdots,n. \]

注意可导性的说明

观察, 当 $i=k$ 的时候如果 $x=a_j, j \neq k$ ,就有

\[ \frac{b_kF(a_j)}{(a_j-a_k)F'(a_k)}=\frac{b_k\cdot 0}{(a_j-a_k)F'(a_k)} = 0 \]

如果 $x=a_k$ 时, 相当于

\[ \lim_{x \to a_k}\frac{b_kF(x)}{(x-a_k)F'(a_k)} =\frac{b_k}{F'(a_k)}\cdot \lim_{x \to a_k} \frac{F(x)}{x-a_k} =\frac{b_k}{F'(a_k)}\cdot \frac{F'(a_k)}{1} = b_k \]