数学问题

1759402248-13175

数字 ${1,2,\dots,n}$ 的一个排列 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 叫称为(长度为 n 的)一条蛇, 如果 $x_1 < x_2 > x_3 < x_4 > \dots$ .

例如: $n=2$ 时候, 只有 $1<2$ , 蛇的条数只有 1 个.

当 $n=3$ 有 $1<3>2$ 或者 $2<3>1$ , 蛇的条数有 2 个.

当 \(n=4\) 有

\begin{equation*} \begin{aligned} 1 < 3 > 2 < 4 \\ 2 < 3 > 1 < 4 \\ 1 < 4 > 2 < 3 \\ 2 < 4 > 1 < 3 \\ 3 < 4 > 1 < 2 \\ \end{aligned} \end{equation*} 1

当 $n=10$ 时, 蛇有几条.

反常积分例子

  • 分部积分：
\begin{equation*} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \cos \beta x \, dx = \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2}, \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin \beta x \, dx = \frac{\beta}{\alpha^2 + \beta^2}. \end{equation*} 2
  • 有理函数积分：
\begin{equation*} \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1 + x^3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}},\quad \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}. \end{equation*} 3
  • 区间的平移、翻转、拉伸与拼接：
\begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2. \end{equation*} 4
  • Riemann-Lebesgue引理：
\begin{equation*} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}. \end{equation*} 5

阅读清单

  • [#A] 分析,组合,数论纵横谈 [0/14] [0%]
    • 第1章 Cauchy- Schwarz不等式
    • 第2章估计大象体积:R3中的投影
    • 第3章四维空间中的投影
    • 第4章投影与立方体
    • 第5章关联数与矩阵
    • 第6章有限域上的网格
    • 第7章二维 Besicovitch- Kakeya猜想
    • 第8章高维 Besicovitch- Kakeya猜想初探
    • 第9章组合计数与概率初步
    • 第10章一个与数论有关的概率问题
    • 第11章振荡积分
    • 第12章圆内整点问题与 Fourier分析
    • 第13章离散 Fourier变换
    • 第14章结束语
  • [#B] 数学及其历史 [0/25] [0%]
    • 第1章 毕达哥拉斯定理
    • 第2章 希腊几何
    • 第3章 希腊数论
    • 第4章 希腊数学中的无穷
    • 第5章 亚洲的数论
    • 第6章 多项式方程
    • 第7章 解析几何
    • 第8章 射影几何
    • 第9章 微积分
    • 第10章 无穷级数
    • 第11章 数论的复兴
    • 第12章 椭圆函数
    • 第13章 力学
    • 第14章 代数中的复数
    • 第15章 复数和复曲线
    • 第16章 复数与复函数
    • 第17章 微分几何
    • 第18章 非欧几里得几何(简称非欧几何)
    • 第19章 群论
    • 第20章 超复数
    • 第21章 代数数论
    • 第22章 拓扑
    • 第23章 单群
    • 第24章 集合、逻辑和计算
    • 第25章 组合学
  • 阿贝尔问题以及解答 [0/2] [0%]
    • 群
    • 复数
  • 图灵的秘密 [0/0] [0%]
  • [#A] 计算机程序的构造和解释 [0/5] [0%]
    • 第1章 构造过程抽象
    • 第2章 构造数据现象
    • 第3章 模块化、对象和状态
    • 第4章 元语言抽象
    • 第5章 寄存器机器里的计算

写作计划

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  2. 为什么选择使用emacs [0/4] [0%]
    • 数学公式
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    • 代码块的执行和引用
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